Борис Кушнир родился в Киеве в 1948 году. Учился игре на скрипке в Московской консерватории им. П. И. Чайковского у Бориса Беленького и камерной музыке у Валентина Берлинского из Квартета имени Бородина. Его многочисленные встречи с Дмитрием Шостаковичем (работающим над последними квартетами) и Давидом Ойстрахом, у которого он также учился, оказали неизгладимое влияние на его творческое развитие. Его карьера началась в 1969 году, когда он стал одним из трех победителей Всесоюзного конкурса в Ленинграде, где в финале исполнил Скрипичный концерт Бетховена с Ленинградским симфоническим оркестром под управлением Юрия Темирканова.
С 1981 года живет в Австрии. Он стал гражданином Австрии в 1982 году. Он завоевал множество призов на международных конкурсах скрипачей и камерной музыки.
Он был одним из основателей Московского струнного квартета. Он также основал Венское трио Шуберта и Венское трио Брамса и сделал множество записей для таких лейблов, как EMI, Naxos и Nimbus Records. С 2002 года он также является участником квартета Копельмана. Г-н Кушнир является профессором Университета музыки в Граце и Университета музыки и искусств города Вены. Его репутация учителя завоевала международное признание благодаря недавним выдающимся успехам его учеников Юлиана Рахлина, Николая Цнайдера. Александра Сумм, Лидия Баич, Далибор Карвай, Александра Сумм, Сергей Догадин, Павел Милюков и Мария Дуэньяс. Борис Кушнир выступает с такими яркими партнерами, как Е. Кисин, Л. Леонская, Л.О. Андснес, Ж.-Ю. Тибоде, Ж. Рахлин, Н. Цнайдер, М. Венгеров, Д. Ситковецкий, Р. Капюкон, Ж. Башмет, Г. Коссе, Н. Имаи, Л. Пауэр, М. Майский, Б. Пергаменщиков, Н. Гутман и С. Иссерлис. В то же время он постоянно дает мастер-классы и является членом жюри различных международных музыкальных конкурсов (таких как Конкурс королевы Елизаветы в Брюсселе, Конкурс Чайковского в Москве, Международный конкурс скрипачей в Индианаполисе, Международный конкурс скрипачей имени Джозефа Иоахима, Конкурс Николо Паганини в Генуя, конкурс Жака Тибо в Париже, Шанхайский международный конкурс скрипачей Исаака Стерна, Сингапурский международный конкурс скрипачей и др.).
В 2008 году Президент Австрийской Республики наградил Бориса Кушнира «Большим серебряным орденом Почета за заслуги перед Австрийской Республикой», а в 2013 году — «Австрийским почетным крестом за науку и искусство I степени».